第五十九章 让人满意的学生
【我来算……大概需要四万条路径，10000不够】
【对，而且Sobol序列要求路径数是2的幂次，所以应该是65536条】
【65536条路径，用对偶变量法等效成131072条，方差减半，置信区间宽度除以根号2，刚好够】
林安停了一下，把之前写的数字划掉，重新计算。
第三道题做完的时候，时间过去了三个小时。
窗外的阳光从淡金色变成了更深的琥珀色，在地板上投下了长长的光影。
林安活动了一下有些发酸的手腕，把第三道题的答案整理好，放在一边。
三道题的答案加起来已经写了密密麻麻的六页纸。
然后他看向第四道题。
题目只有三行字。
+考虑一个带跳跃过程的美式期权定价问题。
标的资产服从Merton跳跃扩散模型，跳跃幅度服从对数正态分布。
请提出一个可行的数值定价框架，并讨论提前执行边界的性质。+
三行字。
没有参数，没有边界条件，没有具体的期权条款，就是这三行字。
这下子，林安是真没招了，只能完全靠弹幕老爷了。
【操，这题也太开放了】
【Merton跳跃扩散模型加美式期权，2009年确实没有解析解】
【不仅没有解析解，连成熟的数值方法都没有，LSM算法是2001年提出的，但那是针对纯扩散模型的，带跳的LSM要到2010年以后才有系统研究】
【所以教授说这道题是超纲的，他不是要学生做出来，是要看学生能不能找到正确的研究方向】
【方向是什么？】
【等着，我这就去找老登，让他帮忙】
【什么老登能帮忙？】
【就是我这边世界的罗伯特·杰罗】
【这好吗？】
【有什么不好，我这边的老登先是因为山火，把在洛杉矶的老家给烧了，接着是金毛股神乱来，把他的养老金给干没了，然后是……】
【总之，他破产了，被美国斩杀了，我拉他一把，现在老登在国内当教授，我是他的助教，让他帮个忙怎么了】
看到这里，林安把题目摊在桌面上，没有急着动手。
【我去问老登了，他正在上课，得等下课】
【行，那我们先帮主播把前三道题的细节再过一遍】
【第一道题伊藤引理的应用，有个地方需要注意，测度变换的时候，漂移项的符号……】
【第三道题路径数……】
弹幕老爷们把前三道题从头到尾又过了一遍，找出三个小问题：一个积分符号的上下限写反了，一个希腊字母的下标漏了，还有一个地方的假设条件没有明确写出来。
林安一一改过来。
改完之后，他靠在椅背上，活动了一下脖子。
第四道题还摊在桌面上，三行字，像三堵墙。
【老登下课了，我把题给他看了】
弹幕突然炸了一下。
【他怎么说？】
【他没直接说答案，他说这个题他出过很多年，每年都换一个变体】
【那这个变体怎么做？】
【他说，这道题的关键不在于“解”，在于“框架”，Merton跳跃扩散模型加美式期权，2009年确实没有成熟的数值方法，但如果能把问题拆成三部分，就能给出一套可行的框架】
【哪三部分？】
【第一，用傅里叶变换处理跳跃部分，……】
【第二，美式期权的提前执行特征，用最小二乘蒙特卡洛……】
【第三，提前执行边界的性质……】
【老登说，他出这道题的目的，就是看学生能不能意识到这三部分之间的关系】
【能写出这个框架的学生，说明他已经具备了独立做研究的能力，不是只会套公式】
【操，这也太难了】
【老登还说了什么？】
【他还说，这道题他每年都出，每年都没有人能在四个小时内做出来，做得最好的一个学生，用了三天，写了一个大概的框架，后来那个学生去了高盛，现在是MD了】
【老登问，是谁在做这道题？】
【你怎么说的？】
【我说是一个朋友，他在做你09年的题，然后他说了一句话】
【什么话？】
【他说，“第四道题不用写完整的答案，写出框架和思路就可以，因为做题者到这一步，已经证明了自己。”】
【什么意思？】
【字面意思】
林安看着弹幕，嘴角微微翘了一下。
他没有说话，拿起笔，开始抄第四道题的答案。
他抄了大概四页纸，不多，但每一个段落都踩在最关键的点上。
写完最后一个字的时候，门外响起了脚步声。
林安看了一眼时间……五点五十三分。
他还有七分钟。
他把四道题的答案按照顺序整理好，第一道题三页，第二道题两页，第三道题四页，第四道题四页，加起来十三页纸，整齐地叠放在桌面上。
钢笔的墨水还剩小半管。
他把笔帽拧上，放在答案旁边。
门被推开了。
杰罗教授走进来，走到办公桌前，把保温杯放下，看了一眼桌上那叠整整齐齐的答案，又看了一眼林安。
“做完了？”
“做完了。”
杰罗教授坐下来，摘下老花镜，用袖口擦了擦镜片，重新戴上，他拿起那叠答案，从第一页开始看。
办公室里安静极了。
杰罗教授看得很慢。
他看第一道题的时候，嘴角微微动了一下。
第二道题，他的眉毛抬了一下。
翻到第三道题的时候，他停了下来。
他看着林安写在答案后面的Sobol序列伪代码，看了大概两分钟，然后他把这一页抽出来，单独放在一边。
林安没有说话。
杰罗教授继续翻到第四道题。
他看到第一页的时候，身体微微前倾了一点。
看到第二页的框架描述时，他的手指在桌面上轻轻敲了一下。
看到第三页那个锯齿状提前执行边界的草图时，他的手指停住了。
罗杰把第四道题的四页纸从头到尾看了两遍，然后他把整份答案合上，放在桌面上，摘下老花镜，用两根手指揉了揉鼻梁。
“四个小时，你把前三道题做完了，第四道题居然还写出了这个框架。”
教授的声音有点惊讶，他把老花镜重新戴上，看着林安，眼睛里无比的欣赏。
“你是怎么想到用傅里叶变换处理跳跃项的？”
“Merton模型的特点是对数价格的特征函数有封闭形式。”
林安说。
“跳跃扩散过程的特征函数是纯扩散部分和跳跃部分的乘积。既然特征函数是封闭的，傅里叶变换就是最自然的工具。”
杰罗教授点了一下头，没有说对，也没有说错。
“那最小二乘蒙特卡洛的扩展呢？Longstaff-Schwartz的原始论文只处理了纯扩散模型，你怎么知道可以把跳跃项作为控制变量加进去？”
林安沉默了一秒。
“因为跳跃项是一个低方差的增量。”
他说。
“在蒙特卡洛模拟里，任何能被解析表达的部分，都不应该被抽样。
跳跃的发生时间服从泊松过程，跳跃幅度服从对数正态分布，这两个部分都可以用解析公式计算条件期望。
把它们作为控制变量，可以让LSM的回归只聚焦在扩散部分的非线性上。”
杰罗教授的手指在桌面上轻轻敲了两下。
“这个思路，你在哪里看到的？”
“我自己想的。”
这是一个谎言。
但这个谎言，没有人能戳穿，因为这个思路来自另一个世界里的罗伯特·杰罗教授本人。
杰罗教授看着林安，嘴角翘起。
“你最近几天有空吗？”